B. Indonesia2 Tugas 1

  PENDAHULUAN

DEFINISI  NLP

Secara umum NLP didefinisikan seperti di bawah ini

Minimumkan   f(x) sebagai fungsi 

 Jika subject :     gj(x)  £  0         j = 1,2,3,…,m

     hj(x)  =  0         j = 1,2,…,p

                           x = (x1,x2,…,xn) Î Ân

dengan fungsi gj dan hj dari vektor x adalah dikenal sebagai fungsi kendala (constraint functions), sementara f disebut  fungsi tujuan (objective function). Meskipun di sana ada sebuah bilangan yang berbeda dengan NLP, mereka adalah kasus khusus. Permasalahan LP juga merupakan kasus khusus dengan menggunakan fungsi f, gj, dan  hj. Juga bermacam permasalahan relatif lebih mudah dianalisis dan dijawab melalui metode simpleks. Secara umum permasalahan di sisi lain memiliki kesulitan tertentu, karena prosedur yang digunakan tidak hanya tunggal ( seperti metode simpleks untuk LP) dan memungkinkan jawaban secara umum beberapa permasalahan NLP.

CONTOH PERUMUSAN  KASUS DAN PENERAPAN   NLP

Berikut ini ada contoh kasus NLP yang diadaptasi dari Biegler (1988). Suatu proses kimia dalam suatu pabrik mengalami 3 macam tahapan untuk menghasilkan 3 produk melalui langkah-langkah berikut ini :

•Produk dipompakan dengan pompa P1 dari tangki penyimpanan ke dalam suatu reaktor batch R

•Sesudah terjadi reaksi, keluaran dari reaktor dipompakan dengan pompa P2 melalui suatu alat penukar panas (H) ke dalam tangki umpan F.

•Dari tangki umpan, produk dipompakan dengan pompa P3 ke dalam Centrifuge C. Di sini padatan dipisahkan dan dikirimkan ke rak pengering (tray dryer) D.  Setelah padatan kering, langsung dikirim ke bagian pengemasan ( packaging).

   BATASAN DAN ASUMSI YANG DIGUNAKAN UNTUK         MENYELESAIKAN KASUS DI ATAS:

Setiap produk diproduksi secara batch, dengan batch baru dapat dimasukan ke tingkatan khusus (specific stage) dalam proses,  setelah semua hasil batch awal selesai dikeluarkan semua.

Batas  waktu siklus untuk setiap produk ditentukan dengan waktu yang dibutuhkan pada tingkatan yang mempunyai waktu terpanjang dan sebuah batch diproduksi pada interval waktu siklus ini.

Masalah perancangan untuk menemukan ukuran batch setiap produk sehubungan dengan kapasitas dengan variasi tingkatan. Juga Jumlah biaya peralatan seluruhnya (sebagai fungsi kapasitas). Kendala dari perancangan ini adalah : hubungan teknologi antara ukuran batch dan kapasitas  peralatan. Juga kebutuhan produksi tahunan yang dibutuhkan untuk ketiga produk.

PENYELESAIAN :

  Di dalam penyelesaian dengan NLP, ketiga produk di atas didefinisikan dengan  i = 1,2,3. Sebagai catatan bahwa reaktor, tangki pengumpan, dan rak pengering adalah tingkatan batch, sejak sebuah pemasukan batch dikumpulkan di sini sebelum mereka  mulai dioperasikan.  Kapasitas mereka dicirikan dengan volume dari produk yang mereka tangani. Pada bagian lain, 3 pompa, alat penukar panas, dan centrifuge adalah

semikontinu stage sejak aliran bahan  melalui masing-masing alat sebagai arus. Kapasitas terdiri  5 tingkatan (stage), dan masing-masing memiliki karakteristik

kecepatan alir berbanding terbalik dengan volume. Peralatan proses dilambangkan dengan singkatan  pada belakangnya yaitu  R, F, D dengan  j =1,2,3 ,dan tingkatan semikontinu P1,P2, P3, H, dan C dengan k = 1,2,3,4,5.

Variabel keputusan didefinisikan :

Bi  : Ukuran batch dari produk i (kg),     i =1, 2, 3

Vj  : Volume dari tingkatan batch (m3),  j =1, 2, 3

Rk  : Kapasitas semikontinu stage k (m3/jam), k=1, 2, 3, 4, 5

tik  : waktu dibutuhkan untuk proses sebuah batch produk i pada semikontinu stage (jam), i =1,2,3 dan k =1,2,3,4,5

Masukan (input) pada model NLP terdiri dari beberapa parameter yang mengikuti.

Sij  : faktor ukuran  untuk batch stage j ( volume dari i terproses pada stage j untuk sebuah satuan massa produk akhir i)

Dik  : faktor tugas (duty factor) untuk semikontinu stage k (volume dari i terproses pada stage k untuk sebuah satuan massa produk akhir i)

Qi  : kuantitas dari produk i  yang diproduksi per tahun

H  : waktu yang digunakan untuk produksi per tahun

Pij  : waktu tetap pemrosesan batch dari i pada stage j

Vj max, Vj min :  kapasitas maksimum dan minimum untuk batch stage j

Rk max, Rk min: kapasitas maksimum dan minimum untuk semikontinu stage k

C(j)  : biaya yang dibutuhkan batch stage j

C(k)  : biaya yang dibutuhkan semikontinu stage k

Fungsi biaya dari bentuk  C(j) = aj.(Vj)aj dan C(k) = bk,(Vk)bk dengan aj, bk, aj , bk adalah nilai yang telah dikenal.

PENUTUP

Pada NLP, prosedur algoritma seperti di atas merupakan garis besar dalam penyelesaian semua permasalahan.

Penyelesaian permasalahan NLP akan lebih mudah, jika dasar-dasar pemahaman teori dan  penyelesaian  permasalahan LP.

Sistem optimasi yang diselesaikan dengan metode NLP harus melihat dan mengamati fungsi secara keseluruhan dan syarat-syarat fungsi kendala supaya didapatkan penyelesaian sesuai yang diinginkan. 

DAFTAR PUSTAKA

Avriel, M.,1976, Nonlinear Programming, Prentice-Hall, Englewood Cliff, New Jersey.

Biegler, L.T., Grossman, I.E., 1988,Application of Oreration Reseach Technique in Chemical Engineering. North-Holland, New York.

 Hodson, W.K., 1971, Maynard’s Industrial Engineering Handbook, McGraw-Hill, New York.